已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R),g(x)=
1
2
x2-(m+
1
m
)x(m>0),且y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-y-1=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),求m的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)M(x,y)(x>m+
1
m
)為兩曲線y=f(x)+c(c∈R),y=g(x)的交點(diǎn),且兩曲線在交點(diǎn)M處的切線分別為l1,l2.若取m=1,試判斷當(dāng)直線l1,l2與x軸圍成等腰三角形時(shí)c值的個(gè)數(shù)并說明理由.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)利用函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的導(dǎo)數(shù)值即曲線的斜率及點(diǎn)在曲線上求得a,b的值;
(Ⅱ)由h'(x)=0得(x-m)(x-
1
m
)=0
,得兩根為m,
1
m
,分當(dāng)0<m<2≤
1
m
0<
1
m
<2≤m
兩種情況討論得出結(jié)論;
(Ⅲ)利用導(dǎo)數(shù)值與曲線斜率相等,及斜率與直線的傾斜角的關(guān)系,設(shè)兩切線l1,l2的傾斜角分別為α,β,
tanα=f′(x)=
1
x
,tanβ=g′(x)=x-2
,由題意可分α=2β,β=2α兩種情況,逐一加以說明即可.
解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=
a
x
+b
,∴f'(1)=a+b=1,又f(1)=b=0,
∴a=1,b=0.                                   …(3分)
(Ⅱ)h(x)=lnx+
1
2
x2-(m+
1
m
)x
;
h′(x)=
1
x
+x-(m+
1
m
)

由h'(x)=0得(x-m)(x-
1
m
)=0
,
∴x=m或x=
1
m
.                               …(5分)
∵m>0,當(dāng)且僅當(dāng)0<m<2≤
1
m
0<
1
m
<2≤m
時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).                 …(6分)
0<m<2≤
1
m
,即0<m≤
1
2
,當(dāng)x∈(0,m)時(shí)h'(x)>0;當(dāng)x∈(m,2)時(shí)h'(x)<0,函數(shù)h(x)有極大值點(diǎn)x=m,
0<
1
m
<2≤m
,即m≥2時(shí),當(dāng)x∈(0,
1
m
)
時(shí)h'(x)>0;當(dāng)x∈(
1
m
,2)
時(shí)h'(x)<0,函數(shù)h(x)有極大值點(diǎn)x=
1
m

綜上,m的取值范圍是{m|0<m≤
1
2
或m≥2}
.…(8分)
(Ⅲ)當(dāng)m=1時(shí),設(shè)兩切線l1,l2的傾斜角分別為α,β,
tanα=f′(x)=
1
x
,tanβ=g′(x)=x-2
,
∵x>2,∴α,β均為銳角,…(9分)
當(dāng)α>β,即2<x<1+
2
時(shí),若直線l1,l2能與x軸圍成等腰三角形,則α=2β;當(dāng)α<β,即x>1+
2
時(shí),若直線l1,l2能與x軸圍成等腰三角形,則β=2α.
由α=2β得,tanα=tan2β=
2tanβ
1-tan2β
,
1
x
=
2(x-2)
1-(x-2)2
,即3x2-8x+3=0,
此方程有唯一解x=
4+
7
3
∈(2,1+
2
)
,直線l1,l2能與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.…(11分)
由β=2α得,tanβ=tan2α=
2tanα
1-tan2α
,
x-2=
2•
1
x
1-
1
x2
,即x3-2x2-3x+2=0,
設(shè)F(x)=x3-2x2-3x+2,F(xiàn)'(x)=3x2-4x-3,
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),F(xiàn)'(x)>0,∴F(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增,則F(x)在(1+
2
,+∞)
單調(diào)遞
增,由于F(
5
2
)<0
,且1+
2
5
2
,所以F(1+
2
)<0
,則F(1+
2
)F(3)<0
,
即方程x3-2x2-3x+2=0在(2,+∞)有唯一解,直線l1,l2能與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.
因此,當(dāng)m=1時(shí),有兩處符合題意,所以直線l1,l2能與x軸圍成等腰三角形時(shí),c值的個(gè)數(shù)有2個(gè).                         …(14分)
點(diǎn)評:本題屬導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題,考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,理解掌握分類討論的思想方法..
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A、C
 
1
2
C
 
4
59
B、C
 
5
60
-C
 
5
58
C、C
 
1
2
C
 
4
59
-C
 
2
2
C
 
3
58
D、C
 
1
2
C
 
4
58
+C
 
2
2
C
 
3
58

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1
x
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2
,b=
10
,求c.

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1
2
x2-(3a+1)x+2a(a+1)lnx(a>0)
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