Question

求證下列不等式
（1）求證：

6

+

7

＞2

2

+

5

（2）設(shè)a＞0，b＞0，a+b=1求證：

1

a

+

1

b

+

1

ab

≥8．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用分析法證明，兩邊平方化簡可得；
（2）利用1的代換把不等式的左邊變形后，使用基本不等式可證不等式成立．

解答： 證明：（1）要證

6

+

7

＞2

2

+

5

，
只需證明：（

6

+

7

）²＞（2

2

+

5

）²，
即證13+2

42

＞13+4

10

，
即證

42

＞2

10

，
即證42＞40，顯然成立，
∴

6

+

7

＞2

2

+

5

；
（2）∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

a+b

a

+

a+b

b

+

a+b

ab

=2+

b

a

+

a

b

+

1

b

+

1

a

=2+

b

a

+

a

b

+

a+b

b

+

a+b

a

=4+2（

b

a

+

a

b

）≥4+4

b a • a b

=8
當且僅當a=b時取等號．
∴

1

a

+

1

b

+

1

ab

≥8．

點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查分析法證明不等式，式子的變形是證明的關(guān)鍵．