Question

【題目】數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列.

(1)求的值，并證明為等比數(shù)列；

(2)設(shè)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ：數(shù)列為等比數(shù)列證明見(jiàn)詳解；(2)

【解析】

(1)帶值計(jì)算可得，利用與的關(guān)系，可得與一個(gè)遞推關(guān)系，利用配湊法，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得結(jié)果.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，可得，進(jìn)一步得到，然后代入，得到含參數(shù)關(guān)于的一元二次不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

(1)因?yàn)?/span> ，，成等差數(shù)列.

所以 ①，由 ②

當(dāng)時(shí)，，即 ③

由①，③可知

當(dāng)時(shí)

④

②-④：

即

又，所以

所以

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，

為公比的等比數(shù)列

(2)由(1)可知

，所以

所以

又

所以

化簡(jiǎn)可得

對(duì)任意的，

不等式恒成立

即恒成立

令

當(dāng)時(shí)，則，恒成立，滿(mǎn)足條件.

當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，不恒成立，不符合

當(dāng)時(shí)，

對(duì)稱(chēng)軸且開(kāi)口向上

所以在遞減

而

恒成立

綜上所述：