Question

若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-2.4]=-3，[3.14]=3，定義函數(shù)f（x）=[x[x]]，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*且N≥2）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧�合A，記A中的元素個(gè)數(shù)為a_n，則

2an+n+7

n

的最小值為（　�。�

• A、

  11

  2

• B、6
• C、

  13

  2

• D、以上答案都不對(duì)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：新定義

分析：由題意先求出[x]，再求出x[x]，然后再求出[x[x]]，應(yīng)用等差數(shù)列求和公式得到a_n，進(jìn)而得到

2an+n+7

n

，用基本不等式求出最小值．

解答： 解：根據(jù)題意得，[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) 2，x∈[2，3) … n-1，x∈[n-1，n)

，
∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) 2x，x∈[2，3) … (n-1)x，x∈[n-1，n)

，
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)為：1，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=1+

n(n-1)

2

，
∴

2an+n+7

n

=

2+n2-n+n+7

n

=

n2+9

n

=n+

9

n

≥2

n• 9 n

=6，
當(dāng)且僅當(dāng)n=3，上式取等號(hào)，
即

2an+n+7

n

的最小值為6．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查通過取整函數(shù)來建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域，正確理解定義，是快速解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了數(shù)列求和和基本不等式的運(yùn)用．