Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

+

1

2

（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c-

3

a，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得f（x）=sin（x-

π

6

），依題意易求cos（x-

π

6

）=

6

3

，借助兩角和的余弦公式即可求得cosx的值；
（2）由2bcosA≤2c-

3

a得：cosB≥

3

2

，從而可得B的取值范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（B）的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意得f（x）=sin（x-

π

6

），
由x∈[0，

π

2

]得：-

π

6

≤x-

π

6

≤

π

3

，sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，
從而可得cos（x-

π

6

）=

6

3

，
則cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos

π

6

cos（x-

π

6

）-sin

π

6

sin（x-

π

6

）=

2

2

-

3

6

；
（2）由2bcosA≤2c-

3

a得：2b•

b2+c2-a2

2bc

≤2c-

3

a，即c²+a²-b²=2accosB≥

3

ac，
∴cosB≥

3

2

，從而0＜B≤

π

6

，
故f（B）=sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，0]．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查兩角和的余弦及正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題．