Question

已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，其中m、n∈P，則滿足上述條件的雙曲線共有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意，將直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1的方程聯(lián)立，消去y得：（m-4n）x²-4nx-n-1=0；分①直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1相切，②直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1相交，討論，分別利用判別式與直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1的一條漸近線平行即可求得答案．

解答： 解：∵直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴由直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1消去y得：（m-4n）x²-4nx-n-1=0，
①若m-4n≠0，直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1相切，
則△=16n²-4（m-4n）（-n-1）=0，
整理得：m（n+1）=4n，
∴m=

4n

n+1

，
又m，n∈P={x|1≤x≤8，x∈Z}，
∴當(dāng)n=1時(shí)，m=2符合題意；當(dāng)n=3時(shí)，m=3符合題意；當(dāng)n為2，4，5，…，8時(shí)均不符合題意；
②若m-4n=0，直線y=2x+1必與雙曲線mx²-ny²=1的一條漸近線y=

m n

x平行，
∵m，n∈P，
∴當(dāng)n=1時(shí)，m=4；當(dāng)n=2時(shí)，m=8．
綜合①②知，滿足上述條件的雙曲線共有4條，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查方程思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查雙曲線的漸近線方程，考查綜合運(yùn)算與求解能力，屬于難題．