Question

如果一個n面體共有m個面是等腰三角形，那我們稱這個n面體的“等度”為

m

n

，現(xiàn)在以下說法：
①已知p：一個三棱錐的“等度”是1，q：該四面體為正四面體，則p是q的充要條件；
②已知方程sinx=

m

n

，x（0，π），則該方程一定有兩解；
③若四棱錐從同一個頂點出發(fā)的四條棱長與底面邊長均為a，則其等度為

4

5

，且體積

2

6

a³；
④正六棱錐的等度為

6

7

；
⑤已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，現(xiàn)截去一頂點為A的三棱錐A-BCA₁，則剩余幾何體的等度為

4

7

，且體積為

5

6

．
其中正確的為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義

分析：根據(jù)等度的定義一一判斷，對于②可取特殊值x=

π

2

，同時要注意棱錐的體積公式是V=

1

3

sh，不規(guī)則幾何體的體積運用間接法求得．

解答： 解：對于①，若一個三棱錐的“等度”是1，只能說明其四個面均為等腰三角形，但不一定均為等邊三角形，故p是q的必要不充分條件．故①錯；
對于②，令f（x）=

m

n

，g（x）=sinx，x∈（0，π），因為

m

n

∈[0，1]，故當(dāng)x=

π

2

時，f（x），g（x）只有一個交點，即方程只有一個實根．故②錯；
對于③，可知該棱錐為正四棱錐，共有5個面，其中4個為等腰三角形，故等度為

4

5

，體積為V=V=

1

3

a2

a2-( 2 2 a)2

=

2

6

a3，故③對；
對于④，正六棱錐有7個面，其中側(cè)面有6個等腰三角形，故等度為

6

7

，故④對；
對于⑤，截去的為一個三棱錐，總的面數(shù)為7，其中等腰三角形3個，等邊三角形1個，故等度為

4

7

，剩余幾何體的體積為13-

1

3

•

1

2

•1•1•1=

5

6

，故⑤對．
故答案為：③④⑤．

點評：本題是一道新定義題，考查學(xué)生的理解能力和空間想象能力和判斷能力，是一道中檔題．