Question

已知函數(shù)f（x+1）是定義在R上的奇函數(shù)，若對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，則不等式f（1-x）＜0的解集為（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，1）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將不等式轉(zhuǎn)化為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)；再利用函數(shù)f（x+1）是定義在R上的奇函數(shù)得到函數(shù)f（x）過（1，0）點，二者相結(jié)合即可求出不等式f（1-x）＜0的解集．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)．
∵函數(shù)f（x+1）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x+1）過點（0，0）；
將函數(shù)f（x+1）向右平移一個單位得到f（x），
即函數(shù)f（x）過點（1，0）．
∴當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
故不等式f（1-x）＜0等價為1-x＞1，
解得x＜0．
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問題．將不等式進行轉(zhuǎn)化判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f（x）過（1，0）點是解決本題的關(guān)鍵．