Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足Sn=n2+bn(b為常數(shù)），且對(duì)于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比數(shù)列，數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）求使不等式Tn＜

6

25

成立的n最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)Sn=n2+bn，利用a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合對(duì)于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，根據(jù)Tn＜

6

25

，即可求得n最大值．

解答： 解：（1）∵an=sn-sn-1=n2+bn-(n-1)2-b(n-1)=2n+b-1，（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1+b，
故a_n=2n+b-1…（2分）
由a_k，a_2k，a_4k成等比數(shù)列可得：（4k+b-1）²=（2k+b-1）（8k+b-1）
化簡(jiǎn)得：2k（b-1）=0，因?yàn)閷?duì)于任意的k∈N^*恒成立，
所以b=1，所以a_n=2n…（5分）
（2）由（1）得a_n=2n
所以Tn=

1

4

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n+1)

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

…（8分）
若Tn＜

6

25

，即

n

4(n+1)

＜

6

25

，
所以n＜24，故n=23…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是利用a_n=S_n-S_n-1，求通項(xiàng)．