Question

5．求經(jīng)過直線l₁：3x+2y-1=0和l₂：5x+2y+1=0的交點，
（1）且平行于直線l₃：3x-5y+6=0的直線l的方程；
（2）且在x軸，y軸上的截距相等的直線l的方程；
（3）且直線l與x軸負半軸，y軸正半軸所圍成的三角形面積最小時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出交點為（-1，2），設(shè)所求的直線的方程為3x-5y+c=0，再把點（-1，2）代入，求得c的值，可得所求的直線的方程．
（2）設(shè)所求的直線的方程為y=kx 或x+y=a，再把點（-1，2）代入，求得k和a的值，可得所求的直線的方程．
（3）設(shè)所求的直線的方程為y-2=k（x+1），求得它與坐標軸的交點為（-1-$\frac{2}{k}$，0）、（0，k+2），k＞0．再根據(jù)所圍成的三角形面積為$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{k}$）•（k+2）=$\frac{1}{2}$（4+k+$\frac{4}{k}$），利用基本不等式求得面積最小時直線l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-1=0}\\{5x+2y+1=0}\end{array}\right.$ 求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，故直線l₁：3x+2y-1=0和l₂：5x+2y+1=0的交點為（-1，2）．
設(shè)所求的直線的方程為3x-5y+c=0，再把點（-1，2）代入，求得c=-13，故所求的直線的方程為3x-5y+13=0．
（2）設(shè)所求的直線的方程為y=kx 或x+y=a，
若所求的直線的方程為y=kx，把點（-1，2）代入，求得k=-2，所求的直線的方程為y=-2x．
若所求的直線的方程為x+y=a，把點（-1，2）代入，求得a=1，故所求的直線的方程為x+y=1．
綜上可得，所求的直線的方程為2x+y=0或 x+y-1=0．
（3）設(shè)所求的直線的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，則它與坐標軸的交點為（-1-$\frac{2}{k}$，0）、（0，k+2），k＞0．
則它與x軸負半軸，y軸正半軸所圍成的三角形面積為$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{k}$）•（k+2）=$\frac{1}{2}$（4+k+$\frac{4}{k}$）≥$\frac{1}{2}$（4+4）=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{4}{k}$，即k=2時取等號，故三角形面積最小時直線l的方程為2x-y+4=0．

點評 本題主要考查求兩條曲線的交點坐標，用待定系數(shù)法求直線的方程，屬于中檔題．