Question

已知函數f（x）=alnx-

1

2

x²+ax-1，其中實數a≠0
（1）討論函數f（x）的單調性
（2）若x∈（1，+∞）時，函數y=f（x）的圖象在直線y=ax-1的下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數f′（x），由f′（x）＞0，得x²-ax-a＜0，令g（x）=x²-ax-a，△=a²+4a，按照△符合進行討論，在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）原題等價于f（x）＜ax-1對?x∈（1，+∞）恒成立，即alnx-

1

2

x2＜0恒成立，分離出參數a后，構造函數，轉化為利用導數可求函數的最小值即可；

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

-x+a，令f′（x）＞0，則x²-ax-a＜0，
令g（x）=x²-ax-a，∵△=a²+4a，
當△=a²+4a≤0，即-4≤a＜0時f（x）在（0，+∞）上遞減．
當△=a²+4a＞0即a＞0或a＜-4時，x1=

a+ a2+4a

2

，x2=

a- a2+4a

2

，
若a＞0，x₂＜0＜x₁，∴f（x）在（0，x₁）上遞增，在（x₁，+∞）上遞減．
若a＜-4，x₂＜x₁＜0，∴f（x）在（0，+∞）上遞減．
綜上所述：當a＞0時，f（x）在（0，

a+ a2+4a

2

）上遞增，在（

a+ a2+4a

2

，+∞）上遞減；當a＜0時，f（x）在（0，+∞）上遞減．
（2）原題等價于f（x）＜ax-1對?x∈（1，+∞）恒成立，即轉化為alnx-

1

2

x2＜0，
∵x∈（1，+∞），∴2a＜

x2

lnx

，
令h（x）=

x2

lnx

，h′（x）=

x(2lnx-1)

ln2x

，
∴h（x）在（0，

e

）上遞減，在（

e

，+∞）上遞增，
∴h（x）的最小值為h（

e

）=2e，
則a＜e且a≠0．

點評：該題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查函數恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．