Question

在（

x

-

1

2 4 x

）ⁿ（n≥3，n∈N^*）的展開式中，第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列．
（1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大值；
（3）求展開式中所有的有理數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）證明：由題意可得 2

C

2 n

=

C

3 n

+

C

1 n

，解得 n=7，可得（

x

-

1

2 4 x

）⁷的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，r沒有整數(shù)解，可得展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式可得，系數(shù)最大的項(xiàng)必為奇數(shù)項(xiàng)（r為偶數(shù)，r=0，2，4，6），第r+1項(xiàng)的系數(shù)為

C

r 7

•(-

1

2

)r，檢驗(yàn)可得，只有當(dāng)r=2時(shí)，系數(shù)最大，從而求得系數(shù)最大的項(xiàng)．
（3）根據(jù)

14-3r

4

為有理數(shù)，且r=0，1，2，3，4，5，6，7，可得只有當(dāng)r=2，或 r=6時(shí)，滿足

14-3r

4

為有理數(shù)，從而求得展開式的有理項(xiàng)．

解答： 解：（1）證明：由題意可得 2

C

2 n

=

C

3 n

+

C

1 n

，解得 n=7，或 n=2（舍去）．
故（

x

-

1

2 4 x

）ⁿ=（

x

-

1

2 4 x

）⁷的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 7

•(-

1

2

)r•x

14-3r

4

，
令

14-3r

4

=0，r沒有整數(shù)解，故展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式可得，系數(shù)最大的項(xiàng)必為奇數(shù)項(xiàng)（r為偶數(shù)，r=0，2，4，6），第r+1項(xiàng)的系數(shù)為

C

r 7

•(-

1

2

)r，
檢驗(yàn)可得，只有當(dāng)r=2時(shí)，系數(shù)最大，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為 T₃=

C

r 7

•(-

1

2

)r•x²．
（3）根據(jù)通項(xiàng)公式可得，

14-3r

4

為有理數(shù)，且r=0，1，2，3，4，5，6，7，
故只有當(dāng)r=2，或 r=6時(shí)，滿足

14-3r

4

為有理數(shù)，故展開式的有理項(xiàng)為T₃=

C

2 7

•(-

1

2

)2•x²=

21

4

x²，T₇=

C

6 7

•(-

1

2

)6•x^-1=

7

64

x^-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．