Question

14．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=n²+n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
（Ⅲ）設數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用當n=1時，a₁=S₁，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，化簡整理，即可得到所求通項；
（Ⅱ）運用等差數(shù)列的定義，即可得證；
（Ⅲ）運用等比數(shù)列的通項公式可得b_n，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
當n=1時，a₁=S₁=2，符合上式．
綜上，a_n=2n，n∈N^*；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a_n=2n，
則a_n+1=2（n+1），
故a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；　
（Ⅲ）∵數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
故數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n=2•1+4•$\frac{1}{2}$+6•$\frac{1}{4}$+…+2n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{2}$+4•$\frac{1}{4}$+6•$\frac{1}{8}$+…+2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1）-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=2•$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得，前n項和T_n=8-（8+4n）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式，考查數(shù)列的求方法：錯位相減法，同時考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，屬于中檔題．