Question

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)m（t）=

1

2

at2+t-a的定義域?yàn)?span id="q4959fl" class="MathJye">[

2

，2]，記函數(shù)m（t）的最大值為g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）試求滿足g(a)＞g(

1

a

)的所有實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：分類討論,數(shù)形結(jié)合法

分析：（1）二次函數(shù)含參討論單調(diào)性，利用性質(zhì)和單調(diào)性解題，（2）利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求解

解答： 解：（1）a＜0，函數(shù)圖象開口向上，關(guān)于直線t=-

1

a

對(duì)稱
  當(dāng)-

1

a

≤

2

即a≤-

2

2

時(shí)，函數(shù)在[

2

，2]上單調(diào)遞減，最大值g（a）=m（

2

）=

2

，
  當(dāng)

2

＜-

1

a

＜2即-

2

2

＜a＜-

1

2

時(shí)，最大值g（a）=m（-

1

a

）=-

1

2a

-

1

a

，
  當(dāng)-

1

a

≥2即-

1

2

≤a＜0時(shí)，函數(shù)在[

2

，2]上單調(diào)遞增，最大值g（a）=m（2）=a+2，
綜上，g（a）=

2                 a≤- 2 2 - 1 2a -a       - 2 2 ＜a＜- 1 2 a+2              - 1 2 ≤a＜0

（2）當(dāng) a≤-

2

2

時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)，不滿足題意，
當(dāng)-

2

2

＜a＜-

1

2

時(shí)，得-

1

2a

-a＞-

1

2× 1 a

-

1

a

化簡(jiǎn)得

1-a2

2a

＞0由a＜0得a＜-1
當(dāng)-

1

2

≤a＜0時(shí)，得a+2＞

1

a

+2化簡(jiǎn)得

a2-1

a

＞0由a＜0得-1＜a＜0
綜上，a＜0且a≠-1

點(diǎn)評(píng)：注意分類討論和函數(shù)思想的應(yīng)用