Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，Sn=

n+2

3

an，則數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：在數(shù)列遞推式中取n=n-1得Sn-1=

n+1

3

an-1 （n≥2），作差后得

an

an-1

=

n+1

n-1

，然后利用累積法求數(shù)列的通項公式．

解答： 解：由Sn=

n+2

3

an，得
Sn-1=

n+1

3

an-1 （n≥2），
兩式作差得：an=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，
整理得：（n-1）a_n=（n+1）a_n-1（n≥2），
∵a₁=1≠0，
∴

an

an-1

=

n+1

n-1

，
則

a2

a1

=3，

a3

a2

=

4

2

，

a4

a3

=

5

3

，

a5

a4

=

6

4

，
…

an-1

an-2

=

n

n-2

，

an

an-1

=

n+1

n-1

．
累積得：an=

n(n+1)

2

=

n2+n

2

．
故答案為：

n2+n

2

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用累積法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．