Question

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，點(diǎn)（1，

3

2

）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，以F₂為圓心

2

為半徑的圓與直線l相切，求△AF₂B的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意知

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)過F₁的直線l的方程為：y=k（x+1），由題意知

|k+k|

k2+1

=

2

，解得k=±1．由此能求出△AF₂B的面積．

解答： 解：（1）∵橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，點(diǎn)（1，

3

2

）在該橢圓上，
∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴設(shè)過F₁的直線l的方程為：y=k（x+1），
∵以F₂為圓心

2

為半徑的圓與直線l相切，
∴

|k+k|

k2+1

=

2

，解得k=±1．
當(dāng)k=1時(shí)，直線l為：y=x+1，
聯(lián)立

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，
△=68+28×8＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
|AB|=

2( 64 49 + 32 7 )

=

24

7

，
點(diǎn)F₂（1，0）到直線AB：y=x+1的距離d=

|1+1|

2

=

2

，
∴△AF₂B的面積S=

1

2

×

24

7

×

2

=

12 2

7

．
當(dāng)k=-1時(shí)，直線l為：y=-x-1，
聯(lián)立

y=-x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，
△=68+28×8＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
|AB|=

2( 64 49 + 32 7 )

=

24

7

，
點(diǎn)F₂（1，0）到直線AB：y=x+1的距離d=

|1+1|

2

=

2

，
∴△AF₂B的面積S=

1

2

×

24

7

×

2

=

12 2

7

．
綜上所述，△AF₂B的面積S=

12 2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．