Question

已知f（x）=（x²+1）e^x，經(jīng)過點(diǎn)P（0，t）（t≠1）有且只有一條直線與曲線f（x）相切，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：因?yàn)閒（0）=1則P不在曲線上，設(shè)出直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，則當(dāng)x=m時(shí)導(dǎo)函數(shù)的值為切線的斜率，切線過P點(diǎn)，表示出切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的單調(diào)性并得到g（x）的最值，利用直線y=t與曲線g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一個(gè)交點(diǎn)得到t的取值范圍．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=（x²+1）e^x，f′（x）=e^x（x+1）²
因?yàn)閒（0）=1，所以點(diǎn)P（0，t）不在曲線f（x）上，設(shè)過點(diǎn)P的直線與曲線f（x）相切與點(diǎn)A（m，n），
則切線方程為y=e^m（m+1）²x+t，
所以有n=e^m（m+1）²m+t及n=e^m（m²+1），得t=e^m（-m³-m²-m+1）令g（x）=e^x（-x³-x²-x+1），
則g′（x）=e^x（-x³-x²-x+1）+e^x（-3x²-2x-1）=-x（x+1）（x+3）e^x，
令g′（x）=0，得x₁=-3，x₂=-1，x₃=0，
可得g（x）在區(qū)間（-∞，-3），（-1，0）單調(diào)遞增，在區(qū)間（-3，-1）（0，+∞）單調(diào)遞減，
所以g（x）在x=-3時(shí)取極大值g（-3）=

22

e3

，在x=-1時(shí)取極小值g（-1）=

2

e

，在x=0時(shí)取極大值g（0）=1，
又

22

e3

＞1，所以g（-3）=

22

e3

是g（x）的最大值，
如圖，過點(diǎn)P（0，t）有且只有一條直線與曲線f（x）相切等價(jià)于直線y=t與曲線g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，又當(dāng)x＜-3時(shí)，g（x）＞0，
所以t=

22

e3

或t≤0．
故答案為：t=

22

e3

或t≤0．

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力．會(huì)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．