Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在x＞0時滿足f（x）=x⁴，且f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]恒成立，則實數(shù)t的最大值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)題意判斷出函數(shù)是單調(diào)增的，進而把4f（x）轉(zhuǎn)化為f（

2

x），利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，根據(jù)x的范圍確定t的范圍．

解答： 易知這個函數(shù)是嚴格單調(diào)的
而f（x+t）≤4f（x）等價于f（x+t）≤f（

2

x）
故問題等價于當x屬于[1，16]時，x+t≤

2

x 恒成立
將x+t≤

2

x 變形為t≤（

2

-1）x，∵x∈[1，16]
∴只需t≤（

2

-1）×1=

2

-1
故t的最大值為

2

-1．
故答案為：

2

-1

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是完成4（x）向f（

2

x） 的轉(zhuǎn)化．