Question

設數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+n+2．
（l）若a₁=1，求S₄．
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列？請說明理由；
（3）若a₁=-3，m，n，p∈N^*，且m+n=2p．試比較S_m+S_n與2S_p的大小，并證明你的結論．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式結合首項逐一求出a₂，a₃，a₄，則S₄可求；
（2）由b_n=a_n+n+2得到b_n+1=a_n+1+（n+1）+2，結合a_n+1=2a_n+（n+1）得到b_n+1=2b_n，然后分a₁=-3和a₁≠-3討論得答案；
（3）當a₁=-3時，求出數(shù)列{a_n}的前n項和，利用作差法證明S_m+S_n≤2S_p．

解答： 解：（1）∵a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），且a₁=1，
∴a₂=2×1+2=4，a₃=2×4+3=11，a₄=2×11+4=26．
∴S₄=42；
（2）∵b_n=a_n+n+2，
∴b_n+1=a_n+1+（n+1）+2=2a_n+（n+1）+（n+1）+2=2（a_n+n+2）=2b_n．
又∵b₁=a₁+3，
∴當a₁=-3時，b₁=0，此時{b_n}不是等比數(shù)列，
當a₁≠-3時，b₁≠0，則

bn+1

bn

=2 (n∈N*)．
故當a₁≠-3時，數(shù)列{b_n}是以a₁+3為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（3）S_m+S_n≤2S_p．
事實上，由（2）知，當a₁=-3時，b₁=0，則a_n=-n-2．
∴{a_n}是以-3為首項，-1為公差的等差數(shù)列，
∴Sn=-

1

2

n(n+5)．
∵m，n，p∈N^*，且m+n=2p，
∴S_m+S_n-2S_p=p（p+5）-

1

2

m（m+5）-

1

2

n（n+5）
=

1

4

[(2p)2-2m2-2n2]+

5

2

(2p-m-n)
=

1

4

[(m+n)2-2m2-2n2]=-

1

4

(m-n)2≤0．
∴S_m+S_n≤2S_p．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式，考查了等比關系的確定及等差數(shù)列前n項和的求法，訓練了利用作差法證明不等式，是中高檔題．