Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（c＞0且為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）令g（x）=

f(x)

x

，求y=g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,二次函數(shù)的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得f′（x）=2ax+b，結(jié)合所給的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得b=1，且2a=

1-0

0+ 1 2

=2，從而得到a、b的值．
（Ⅱ）對于y=g（x）=x+1+

c

x

，分當0＜c＜1時、當c＞1時兩種情況，分別利用單調(diào)性、基本不等式求得g（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由于二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（c＞0且為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=2ax+b，
結(jié)合所給的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得b=1，且2a=

1-0

0+ 1 2

=2，解得a=1．
即a=b=1．
（Ⅱ）令g（x）=

f(x)

x

，則 y=g（x）=x+1+

c

x

，
當0＜c＜1時，函數(shù)g（x） 在[1，+∞）上是增函數(shù)，故g（x）的最小值為g（1）=2+c．
當c＞1時，g（x）=x+1+

c

x

≥1+2

x• c x

=1+2

c

，當且僅當x=

c

時，取等號．
綜上可得，當0＜c＜1時，g（x）的最小值為2+c；當c＞1時，g（x）的最小值為1+2

c

．

點評：本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．