Question

設正項數(shù)列{d_n}的前n項和為s_n，若?M＞0，對?n∈N⁺，s_n＜M恒成立，則稱{d_n}為收斂數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，公差d為質數(shù)； {b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，公比q的倒數(shù)為正偶數(shù)，且滿足a2+a3+a4+a5=

1

b3

+

1

b4

+

1

b5

．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）是判斷數(shù)列{a_n•b_n}是否為收斂數(shù)列？若是，請證明；若不是請說明理由；
（3）設cn=

dn

(1+d1)(1+d2)…(1+dn)

(n∈N+)，試判斷數(shù)列{c_n}是否為收斂數(shù)列？若是，請證明；若不是請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：新定義

分析：（1）由a₂+a₃+a₄+a₅=

1

b3

+

1

b4

+

1

b5

，可求得4（2.5d+2）=

1

q2

（1+

1

q

+

1

q2

），據(jù)題意，可分析得到q=

1

2

，d=2，從而可求得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）由于a_n•b_n=n×(

1

2

)n-2，其前n項和S_n=2+2+1.5+…+（n-2）×(

1

2

)n-4+（n-1）×(

1

2

)n-3+n×(

1

2

)n-2①，0.5Sn=1+1+0.75+…+（n-2）(

1

2

)n-3+（n-1）×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1②
利用錯位相減法可求得S_n=8-（2+n）×(

1

2

)n-2＜8，從而可判斷數(shù)列{a_n•b_n}是否為收斂數(shù)列．
（3）利用放縮法可求得c_n＜

1

d1+d2+…+dn-1

，從而可證數(shù)列{d_n}的前n項和為s_n＜

1

cn+1

，從而可得答案．

解答： 解：（1）∵a₂+a₃+a₄+a₅=

1

b3

+

1

b4

+

1

b5

，
即4a₁+10d=

1

q2

+

1

q3

+

1

q4

，∵a₁=2，
∴4（2.5d+2）=

1

q2

（1+

1

q

+

1

q2

）
∵4是正偶數(shù)和完全平方數(shù)，

1

q2

是正偶數(shù)，2.5d+2是質數(shù)，1+

1

q

+

1

q2

是質數(shù)，
∴

1

q2

=4，2.5d+2=1+

1

q

+

1

q2

∴q=

1

2

，d=2．
∴a_n=2n，b_n=(

1

2

)n-1；
 （2）a_n•b_n=2n×(

1

2

)n-1=n×(

1

2

)n-2，
∴S_n=2+2+1.5+…+（n-2）×(

1

2

)n-4+（n-1）×(

1

2

)n-3+n×(

1

2

)n-2①
  0.5S_n=1+1+0.75+…+（n-2）(

1

2

)n-3+（n-1）×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1②
 兩式相減得：0.5S_n=2+1+0.5+…+(

1

2

)n-3+(

1

2

)n-2-n×(

1

2

)n-1，
∴S_n=8-（2+n）×(

1

2

)n-2＜8，即存在M=8，滿足定義
∴數(shù)列{a_n•b_n}是收斂數(shù)列；
（3）∵數(shù)列{d_n}為正項數(shù)列，
∴c_n=

dn

(1+d1)(1+d2)…(1+dn)

＜

dn

(1+d1)(1+d2)…(1+dn-1)•dn

=

1

(1+d1)(1+d2)…(1+dn-1)

＜

1

d1+d2+…+dn-1

，
∴c_n+1＜

1

d1+d2+…+dn-1+dn

，
∴d₁+d₂+d₃+…+d_n＜

1

cn+1

，
∴數(shù)列{d_n}是收斂數(shù)列，又{d_n}為正項數(shù)列，
∴

cn+1

cn

=

dn+1

(1+d1)(1+d2)…(1+dn+1)

×

(1+d1)(1+d2)…(1+dn)

dn

=

dn+1

dn(1+dn+1)

＜

1

dn

＜

1

M

，
∴c_n+1＜c_n•

1

M

．
∴c₁+c₂+…+c_n＜c₁+c₁•

1

M

+c₁•(

1

M

)2+…+c₁•(

1

M

)n-1=

c1

1- 1 M

•（1-(

1

M

)n）＜

c1

1- 1 M

．
∴數(shù)列{c_n}是收斂數(shù)列．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查錯位相減法求和與放縮法證明不等式，突出分析求解與推理運算能力，屬于難題