Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左頂點為A、上頂點為B，光線通過點C（-1，0）射到線段AB（端點除外）上的點T，經(jīng)線段AB反射，其反射光線與橢圓交于點M．若∠CTM為鈍角，則T點的橫坐標(biāo)m的范圍為（-3，$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，0）．

Answer 1

分析 只要求出∠CTM為直角時T的橫坐標(biāo)．由圖可得，這樣的T點有兩個．求出A，B，|AB|的長，可得∠BAC=30°，運用解直角三角形的知識，結(jié)合反射定律，可得T的橫坐標(biāo)，再由圖形觀察，即可得到范圍．

解答 解：只要求出∠CTM為直角時T的橫坐標(biāo)．
由圖可得，這樣的T點有兩個．
先求線段AB上面的一個，設(shè)為T₁，
A（-3，0），B（0，$\sqrt{3}$），|AB|=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
即有∠BAC=30°，
又|AC|=2，可得C到AB的距離CN為1，
由∠CT₁M為直角，由反射定律可得，∠AT₁C=45°，
AN=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，T₁N=1，即有AT₁=1+$\sqrt{3}$，
T₁的橫坐標(biāo)即為$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+$\sqrt{3}$）-3=$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，
同理可得AT₂=$\sqrt{3}$-1，
T₂的橫坐標(biāo)為$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$，
由圖象觀察可得，若∠CTM為鈍角，
則T點的橫坐標(biāo)m的范圍是（-3，為$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，0）．
故答案為：（-3，$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，0）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查光線反射定律的運用，同時考查轉(zhuǎn)化思想的運用，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．