如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1與A1C相交于點(diǎn)D.
(1)求證:BD⊥平面AA1C1;
(2)(文)設(shè)點(diǎn)E是直線B1C1上一點(diǎn),且DE∥平面AA1B1B,求四棱錐E-AA1C1C的體積.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)由平行四邊形AA1C1C中AC=A1C1,結(jié)合題意證出△AA1C1為等邊三角形,同理得△ABC1是等邊三角形,從而得到中線BD⊥AC1,利用面面垂直判定定理即可證出BD⊥平面AA1C1C.
(2)確定點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn),求出BD,利用體積公式,即可求四棱錐E-AA1C1C的體積.
解答: (1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C為平行四邊形,所以AC=A1C1
因?yàn)锳C=AA1,所以AA1=A1C1,
因?yàn)椤螦A1C1=60°,所以△AA1C1為等邊三角形,
同理△ABC1是等邊三角形,
因?yàn)镈為AC1的中點(diǎn),所以BD⊥AC1,
因?yàn)槠矫鍭BC1⊥平面AA1C1C,平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1,BD?平面ABC1,
所以BD⊥平面AA1C1C.
(2)解:設(shè)點(diǎn)F是A1C1的中點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)D是AC1的中點(diǎn),所以DF∥平面AA1B1B,
又因?yàn)镈E∥平面AA1B1B,
所以平面DEF∥平面AA1B1B,
又平面DEF∩平面A1B1C1=EF,
平面AA1B1B∩平面A1B1C1=A1B1,
所以EF∥A1B1
所以點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn).
由已知可得AC1=2,從而BD=
3
,
所以四棱錐E-AA1C1C的體積VE-AA1C1C=
1
2
VB1-AA1C1C=
1
2
VB-AA1C1C=
1
6
×
1
2
×2×2sin60°×
3
=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的證明,四棱錐E-AA1C1C的體積,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,2014年初新購(gòu)置了一條高性能的生產(chǎn)線,該生產(chǎn)線在使用過(guò)程中的維護(hù)費(fèi)用會(huì)逐年增加,第1年的維護(hù)費(fèi)用是4萬(wàn)元,從第2年到第7年,每年的維護(hù)費(fèi)用均比上年增加2萬(wàn)元,從第8年開(kāi)始,每年的維護(hù)費(fèi)用比上年增加25%.
(1)設(shè)該生產(chǎn)線第n年的維護(hù)費(fèi)用為an,求an的表達(dá)式;
(2)設(shè)該生產(chǎn)線前n年維護(hù)費(fèi)用總和為Sn,求該生產(chǎn)線前n年平均維護(hù)費(fèi)用的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某省物理學(xué)會(huì)為了研究高一學(xué)生物理成績(jī)與性別的關(guān)系,選取了一次模擬考試中某班級(jí)的30名男生和20名女生的物理成績(jī),并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,記80分以上(包含80分)為優(yōu)秀,80分以下為非優(yōu)秀.

(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,若按90%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與性別有關(guān)系”?
(Ⅱ)從本班物理成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生中任取3人,記女生的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k00.100.050.0250.010
k02.7063.8415.0246.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AB是圓O的直徑,BC是圓O的切線,切點(diǎn)為B,OC平行于弦AD.
(Ⅰ)求證∠ADO=∠COB;
(Ⅱ)若OB=3,OC=5,求CD的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1+2a2+…+2n-1an=8n對(duì)任意的n∈N*都成立,設(shè)向量
a
=(x,2),
b
=(x+n,2x-1)(n∈N*).函數(shù)f(x)=
a
b
在[0,1]上的最小值與最大值的和為bn
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)cn=an•bn,試求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求函數(shù)y=
-x2+x+2
的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c,其中a+b=0,a,b,c均為常數(shù),曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y-1=0.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,P是圓O外的一點(diǎn),PA為切線,A為切點(diǎn),割線PBC經(jīng)過(guò)圓心O,PC=6,PA=2
3
,則∠PCA=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求和:Sn=1+(1+
1
2
)+(1+
1
2
+
1
4
)+[1+
1
2
+
1
4
+…+(
1
2
n-1].

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