Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁與A₁C相交于點D．
（1）求證：BD⊥平面AA₁C₁；
（2）（文）設(shè)點E是直線B₁C₁上一點，且DE∥平面AA₁B₁B，求四棱錐E-AA₁C₁C的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由平行四邊形AA₁C₁C中AC=A₁C₁，結(jié)合題意證出△AA₁C₁為等邊三角形，同理得△ABC₁是等邊三角形，從而得到中線BD⊥AC₁，利用面面垂直判定定理即可證出BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）確定點E是B₁C₁的中點，求出BD，利用體積公式，即可求四棱錐E-AA₁C₁C的體積．

解答： （1）證明：因為四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，所以AC=A₁C₁
因為AC=AA₁，所以AA₁=A₁C₁，
因為∠AA₁C₁=60°，所以△AA₁C₁為等邊三角形，
同理△ABC₁是等邊三角形，
因為D為AC₁的中點，所以BD⊥AC₁，
因為平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，BD?平面ABC₁，
所以BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）解：設(shè)點F是A₁C₁的中點，因為點D是AC₁的中點，所以DF∥平面AA₁B₁B，
又因為DE∥平面AA₁B₁B，
所以平面DEF∥平面AA₁B₁B，
又平面DEF∩平面A₁B₁C₁=EF，
平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，
所以EF∥A₁B₁，
所以點E是B₁C₁的中點．
由已知可得AC₁=2，從而BD=

3

，
所以四棱錐E-AA₁C₁C的體積VE-AA1C1C=

1

2

VB1-AA1C1C=

1

2

VB-AA1C1C=

1

6

×

1

2

×2×2sin60°×

3

=

1

2

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，四棱錐E-AA₁C₁C的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．