【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(Ⅱ)求函數(shù)的極值;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個不同的零點,求a的取值范圍。
【答案】(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為(1,+) ,增區(qū)間為(0,1); (Ⅱ)見解析(Ⅲ)a>1
【解析】
(Ⅰ)當(dāng)a=1, f′(x)=,解f′(x)<0和f′(x)>0確定單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)f′(x),討論a≤0和a>0時f′(x)的符號,確定單調(diào)性和極值;(Ⅲ)由(Ⅱ)知當(dāng) a≤0時,f(x)至多有一個零點,舍去;當(dāng)a>0時,函數(shù)的極小值為f(a)=設(shè)函數(shù)g(x)=lnx+x-1,求導(dǎo)確定g(x):當(dāng)0<x<1時,g(x)<0;x>1時,g(x)>0,分情況討論:當(dāng)0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0,f(x)至多有一個零點,不符合題意;當(dāng)a>1時,由零點存在定理確定()和(a,3a-1)各有一個零點,則a可求
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,, f′(x)=
當(dāng)f′(x)<0時,x>1; f′(x)>0時,0<x<1
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(1,+) ,增區(qū)間為(0,1)
(Ⅱ)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x),
若a≤0,則f′(x)<0,此時f(x)在(0,+∞)遞減,無極值
若a>0,則由f′(x)=0,解得:x=a,
當(dāng)0<x<a時,f′(x)>0,當(dāng)x>a時,f′(x)<0,
此時f(x)在(0,a)遞增,在(a,+∞)遞減;
∴當(dāng)x=a時,函數(shù)的極大值為f(a)=,無極小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
當(dāng) a≤0時,f(x)在(0,+∞)遞減,則f(x)至多有一個零點,不符合題意,舍去;
當(dāng)a>0時,函數(shù)的極小值為f(a)=,
令g(x)=lnx+x-1(x>0)
∵ ∴g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,又g(1)=0, ∴0<x<1時,g(x)<0;x>1時,g(x)>0
(i) 當(dāng)0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0,則函數(shù)f(x)至多有一個零點,不符合題意,舍去;
(ii) 當(dāng)a>1時,f(a)=ag(a)>0
∵∴函數(shù)f(x)在()內(nèi)有一個零點,
∵f(3a-1)=aln(3a-1)-
設(shè)h(x)=lnx-x(x>2)
∵ ∴h(x)在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,則h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0
∴函數(shù)f(x)在(a,3a-1)內(nèi)有一個零點.則當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)恰有兩個零點
綜上,函數(shù)有兩個不同的零點時,a>1
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究機構(gòu)對某校高二文科學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù).
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)試根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程,預(yù)測記憶力為14的學(xué)生的判斷力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求m的取值范圍;
(2)求在區(qū)間上的最小值;
(3)討論在區(qū)間上的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且.
(Ⅰ) 若1是關(guān)于x的方程的一個解,求t的值;
(Ⅱ) 當(dāng)且時,解不等式;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間(-1,2]上有零點,求t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一段長度為的木棍,希望將其鋸成盡可能多的小段,要求每一小段的長度都是整數(shù),并且任何一個時刻,當(dāng)前最長的一段都嚴格小于當(dāng)前最短的一段長度的2倍,記對符合條件時的最多小段數(shù)為,則( )。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,,∠BAD=∠CDA=90°,.
(1)求證:平面PAD⊥平面PBC;
(2)求直線PB與平面PAD所成的角;
(3)在棱PC上是否存在一點E使得直線平面PAD,若存在求PE的長,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),曲線在點處的切線方程為.
(1)求實數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間;
(2)試比較與的大小,并說明理由;
(3)求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第個家庭的月收入(單位:千元)與月儲蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得,,,.
(1)求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程;
(2)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.
(附:線性回歸方程中,,其中,為樣本平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=log2(kx2+4kx+3).①若f(x)的定義域為R,則k的取值范圍是_____;②若f(x)的值域為R,則k的取值范圍是_____.
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