Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²（x-

π

6

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角的正弦與余弦及輔助角公式，將解析式化為y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）由x的范圍求出“2x-

π

6

”的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)行比較后得函數(shù)的最值，即求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²（x-

π

6

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）-1
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

2

-

π

4

)
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin(2x-

π

2

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
∴周期 T=π---------------------（6分）
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)得，

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ(k∈Z)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ](k∈Z)-------------（8分）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，-----------（9分）
∵函數(shù)f（x）=sin(2x-

π

6

)在區(qū)間[-

π

12

，

π

3

] 上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

3

，

π

2

]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）取最大值f(

π

3

)=sin(

2π

3

-

π

6

)=sin

π

2

=1．
又∵f(-

π

12

)=sin(-

π

3

)=-

3

2

，且f(

π

2

)=sin(π-

π

6

)=sin

π

6

=

1

2

，
∴當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，f（x）取最小值-

3

2

．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域?yàn)?span id="qrz44ae" class="MathJye">[-

3

2

，1]------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦與余弦、輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性、利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求給定區(qū)間上的值域問(wèn)題，屬于中檔題．