Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M為AB的中點，N為A₁B₁的中點．
（1）求證：AC₁∥平面B₁MC；
（2）求證：平面ANC₁∥平面B₁MC．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接BC₁，交B₁C于點E，連接ME，則BC₁與B₁C互相平分，從而BE=C₁E，又AM=BM，根據中位線定理可知AC₁∥ME，又ME?平面CMB₁，AC₁?平面B₁MC，最后根據線面平行的判定定理可知AC₁∥平面B₁MC．
（2）利用直線與平面平行的判定定理可得AN∥平面B₁MC．又由（1）知，AC₁∥平面CMB₁．根據平面與平面平行的判定定理可得平面ANC₁∥平面B₁MC．

解答： 證明：（1）證明：連接BC₁，交B₁C于點E，連接DE，則BC₁與B₁C互相平分．
∴BE=C₁E，又AM=BM，
∴ME為△ABC₁的中位線，
∴AC₁∥ME．
又ME?平面CMB₁，AC₁?平面CMB₁，
∴AC₁∥平面CMB₁．
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵M為AB的中點，N為A₁B₁的中點，
∴AM∥B₁N，且AM=B₁N，
∴四邊形AMB₁N是平行四邊形．
∴AN∥B₁M．
又∵B₁M?平面B₁MC，
AN?平面B₁MC．
∴AN∥平面B₁MC．
由（1）知，AC₁∥平面CMB₁，
∴平面ANC₁∥平面B₁MC．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理以及平面與平面平行的判定定理的應用．屬于中檔題．