Question

如圖（1）在等腰△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC和BC邊的中點，∠ACB=120^?，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如圖（2））
（Ⅰ）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線線平行證明線面平行，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，從而可證AB∥平面DEF．
（Ⅱ）取CD的點M，使EM∥AD，過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF，從而可得∠MNE是二面角E-DF-C的平面角，進而可得tan∠MNE=2，從而可得二面角E-DF-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）直線AB與平面DEF平行．理由如下：
在翻折后，∵E，F(xiàn)仍然為AC，BC的中點，
∴EF∥AB，
又EF?平面DEF，AB不包含于平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（Ⅱ）解：∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，∴AD⊥BD，
∴AD⊥平面BCD，
取CD的點M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角．
設(shè)CD=a，則AC=BC=2a，AD=DB=

3

a，
在△DFC中，設(shè)底邊DF上的高為h
由S_△DFC=

1

2

3

a•a•

1

2

=

1

2

•

1

2

•2a•h，
∴h=

3

2

a
在Rt△EMN中，EM=

1

2

AD=

3

2

a，MN=

1

2

h=

3

4

a，
∴tan∠MNE=2，
從而cos∠MNE=

5

5

．
∴二面角E-DF-C的余弦值為

5

5

．

點評：本題線面平行，考查面面角，考查存在性問題，解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定，確定面面角，同時注意向量方法的運用．