Question

【題目】已知F為拋物線E：（p＞0）的焦點，C（，1）為E上一點，且|CF|=2．過F任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線E于P，Q和M，N兩點，A，B分別為線段PQ和MN的中點．

（1）求拋物線E的方程及點C的坐標；

（2）試問是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；

（3）證明直線AB經(jīng)過一個定點，求此定點的坐標，并求△AOB面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線方程為，或 ；(2) 是定值，定值為；(3) 過定點；面積的最小值為6.

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)和定義即可求出，代值計算即可求出點C的坐標，

設直線的方程為，，則直線的方程為，設，，，，根據(jù)拋物線定義可得，，再分別聯(lián)立方程組根據(jù)韋達定理可得，，即可求出，

設，，由分別求出點A，B的坐標，求出直線AB的斜率，寫出直線方程，即可得到直線過定點，再根據(jù)兩點之間的距離公式和點到直線的距離公式可得表示三角形面積，根據(jù)基本不等式即可求出最值

解：拋物線E：的準線方程為，

為E上一點，且，

，即，

拋物線方程為，

當時，，

即或．

由可得，

設直線的方程為，，則直線的方程為，

設，，，，

，，

由，，分別消x可得，，，

，

，

，

故是為定值，定值為．

設，，

，B分別為線段PQ和MN的中點，

由可得，，

，，

則直線AB的斜率為，

直線AB的方程為，即，

直線AB過定點，

點到直線的距離，

，當且僅當時取等號．

故面積的最小值為6．