Question

已知

（1）判斷奇偶性并證明；

（2）判斷單調性并用單調性定義證明；

（3）若，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）為上的奇函數(shù)；（2）在上單調遞增；（3）或.

【解析】

試題分析：(1)證明函數(shù)的奇偶性步驟：第一步，判斷定義域是否關于原點對稱，本題中函數(shù)的定義域為，關于原點對稱；第二步，判斷與的關系，本題中，所以原函數(shù)為上的奇函數(shù)；（2）本題中利用定義證明函數(shù)的單調性步驟：第一步，任取且，再比較與的大小關系，得到，所以在上單調遞增得證；（3）解不等式一種是直接法，一種是單調性法.本題中用后者比較簡單，首先移項，利用函數(shù)為奇函數(shù)，將原不等式變形為，再利用單調性，同解變形為，進一步解得結果.

試題解析：（1）定義域為，關于原點對稱. 2分

為上的奇函數(shù). 4分

設

則

又

即

在上單調遞增. 8分

（3） 為上的奇函數(shù).

又在上單調遞增. 或. 12分

考點：1.函數(shù)奇偶性的判斷；（2）函數(shù)單調性的定義；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調性解不等式.