Question

過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左焦點(diǎn)F₁作垂直于x軸的直線(xiàn)交橢圓于AB兩點(diǎn)，若△ABF₂為等邊三角形，則該橢圓離心率為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  3

  3

• C、

  2

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)△ABF₂是正三角形，且直線(xiàn)AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，得到F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=30°．在Rt△AF₂F₁中，設(shè)|AF₁|=m，可得

|AF1|

|AF2|

=

1

2

，所以|AF₂|=2m，用勾股定理算出|F₁F₂|=

3

m，得到橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=

3

m，從而可求橢圓的離心率．

解答： 解：∵△ABF₂是正三角形，
∴∠AF₂B=60°，
∵直線(xiàn)AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，
∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=

1

2

×60°=30°，
Rt△AF₂F₁中，設(shè)|AF₁|=m，sin30°=

|AF1|

|AF2|

=

1

2

，
∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|=

3

m
因此，橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=

3

m
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

3

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦和另一焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．