Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+

3

cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

3

]，求函數(shù)分f（x）的值域；
（Ⅲ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求cosx的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用輔助角公式，寫成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后，利用周期公式進(jìn)行求解；
（Ⅱ）根據(jù)x∈[0，

π

3

]，同時(shí)結(jié)合三角函數(shù)的圖象，求解值域；
（Ⅲ）結(jié)合余弦定理，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=sinxcosx+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∴T=

2π

2

=π；
∴函數(shù)f（x）的周期π；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

3

]，
∴

π

3

＜2x+

π

3

≤π，
∴0≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴

3

2

≤sin（2x+

π

3

）+

3

2

≤1+

3

2

，
∴函數(shù)分f（x）的值域[

3

2

，1+

3

2

]；
（Ⅲ）∵b²=ac，
∴cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cox＜1，
∴cosx的范圍[

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，余弦定理及其運(yùn)用，屬于中檔題，難度中等．