Question

下列說法：
（1）命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
（2）關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
（3）對于函數(shù)f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，則有當(dāng)a=1時，?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點(diǎn)；
（4）已知m，n，s，t∈R+，m+2n=5，

m

s

+

n

t

=9，n＞m，且m，n是常數(shù)，又s+2t的最小值是1，則m+3n=7．
其中正確的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,命題的否定,根的存在性及根的個數(shù)判斷,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題

分析：（1）由特稱命題的否定是全稱命題，判定命題是否正確；
（2）由0＜sin²x≤1，求出sin²x+

2

sin2x

的最小值，即求出a的取值范圍；
（3）驗(yàn)證0是方程f（x）-kx=0的根，判定x＞0、x＜0時，方程

x

1+x

-kx=0是否有解，即函數(shù)g（x）有無零點(diǎn)即可；
（4）根據(jù)題意，由s+2t的最小值是1，得出

m

+

2n

=3①，又m+2n=5②，由①②解得m、n的值，求出m+3n即可．

解答： 解：（1）根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可以判定命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，
∴命題（1）是真命題；
（2）∵0＜sin²x≤1，∴sin²x+

2

sin2x

有最小值是1+

2

1

=3，
∴關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立時，a的取值范圍是a＜3，命題正確；
（3）∵a=1時，f（x）=

x

1+|x|

，∴g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函數(shù)g（x）的一個零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時，若?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)，則方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化為kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程無解，即不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（-∞，0）上有零點(diǎn)，∴命題（3）錯誤；
（4）由題意，s+2t=

1

9

（s+2t）•（

m

s

+

n

t

）=

1

9

（m+2n+

2tm

s

+

sn

t

）≥

1

9

（m+2n+2

m•2n

）=

1

9

(

m

+

2n

)2=1，
∴

m

+

2n

=3①，又∵m+2n=5②，
由①②解得m=1，n=2；
∴m+3n=7；
∴命題（4）正確．
所以，以上命題正確的是（1）、（2），（4）；
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查了簡單邏輯關(guān)系、基本不等式以及函數(shù)的零點(diǎn)等知識的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)仔細(xì)分析每一個命題是否正確，是綜合題．