Question

已知f（x）=2sinx（cosx-sinx），其中x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并指出函數(shù)y=sin2x的圖象如何變換成y=f（x）的圖象；（要求變換的先后順序）
（2）在△ABC中角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，f（A）=0，b=4，S_△ABC=6，求a的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，從而可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；利用三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得函數(shù)y=sin2x的圖象如何變換成y=f（x）的圖象的；
（2）由f（A）=0可求得A=

π

4

，再由b=4，S_△ABC=6可求得c=3

2

，利用余弦定理即可求得a．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinx（cosx-sinx）
=sin2x-（1-cos2x）
=sin2x+cos2x-1
=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
要得到y(tǒng)=sin2x的圖象，需將函數(shù)f（x）的圖象作如下變換：
先將y=f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位，得到y(tǒng)=

2

sin2x-1的圖象，
再將y=

2

sin2x-1的圖象向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=

2

sin2x的圖象，
最后將y=

2

sin2x的圖象的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2

2

倍（橫坐標(biāo)不變），
即可得到函數(shù)y=sin2x的圖象．
（2）在△ABC中，∵f（A）=

2

sin（2A+

π

4

）-1=0，
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，0＜A＜π，
∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

9π

4

，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，
∴A=

π

4

；
又△ABC中，b=4，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4c×

2

2

=6，
∴c=3

2

，
∴a²=b²+c²-2bccosA=16+18-2×4×3

2

×

2

2

=10，
∴a=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，著重考查三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．