【題目】已知橢圓C：過點，離心率為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，記△F1MN的內(nèi)切圓的面積為S，求當(dāng)S取最大值時直線l的方程，并求出最大值．

【答案】(1)；（2），.

【解析】

（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的內(nèi)切圓半徑為r，運用等積法和韋達(dá)定理，弦長公式，結(jié)合基本不等式即可求得最大值．

（Ⅰ）由題意得+=1，=，a2=b2+c2，

解得a=2，b=，c=1，

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1；

（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的內(nèi)切圓半徑為r，

則=（|MN|+|MF1|+|NF1|）r=×8r=4r，

所以要使S取最大值，只需最大，

則=|F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，

設(shè)直線l的方程為x=ty+1，

將x=ty+1代入+=1；

可得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）

∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，

y1+y2=，y1y2=，

==，

記m=（m≥1），

==在[1，+∞）上遞減，

當(dāng)m=1即t=0時，（）max=3，

此時l：x=1，Smax=π．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，（a為參數(shù)）。以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為，將C2逆時針旋轉(zhuǎn)以后得到曲線C3.

（1）寫出C1與C3的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)C2與C3分別交曲線C1于A、B和C、D四點，求四邊形ACBD面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點為，點在橢圓上，且點關(guān)于原點對稱，直線的斜率的乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)過點，且與橢圓交于不同的兩點，若，判斷直線的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個零點，，則下列判斷：①；②；③；④有極小值點，且.則正確判斷的個數(shù)是（ ）

A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù)，Sn是數(shù)列的前n項的和，對任意的，都有.數(shù)列各項都是正整數(shù)，，且數(shù)列是等比數(shù)列．

(1) 證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2) 求數(shù)列的通項公式；

(3)求滿足的最小正整數(shù)n.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若直線y=a分別與直線y=2x-3，曲線y=ex-x（x≥0）交于點A，B，則|AB|的最小值為（　　）

A. B. C. eD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),曲線的參數(shù)方為 (為參數(shù)),以為極點, 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;

(2)設(shè),,為直線與曲線的兩個交點,求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設(shè)點是一個動點，若直線的斜率存在，且為中點，，求實數(shù)的取值范圍．

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