Question

6．已知對任意n∈N，有a_n＞0且$\sum_{i=1}^{n}{{a}_{i}}^{3}$=（$\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}$）²，求證：a_n=n．

Answer 1

分析 通過數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時，a_k=k，
則當(dāng)n=k+1時，$\sum_{i=}^{k+1}$${{a}_{i}}^{3}$=1+2³+3³+…+k³+${{a}_{k+1}}^{3}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}$+${{a}_{k+1}}^{3}$，
$（\sum_{i=1}^{k+1}{a}_{i}）^{2}$=$[\frac{k（k+1）}{2}+{a}_{k+1}]^{2}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}$+k（k+1）•a_k+1+${{a}_{k+1}}^{2}$，
從而${{a}_{k+1}}^{3}$=k（k+1）•a_k+1+${{a}_{k+1}}^{2}$，
整理得：a_k+1[${{a}_{k+1}}^{2}$-a_k+1-k（k+1）]=0，
解得：a_k+1=k+1或a_k+1=-k（舍）或a_k+1=0（舍），
即當(dāng)n=k+1時，命題成立；
由①、②可知，a_n=n．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．