Question

9．若直線ax-by+1=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值是8．

Answer 1

分析 由圓的方程x²+y²+2x-4y+1=0⇒圓心O為（-1，2），半徑r=2；又直線ax-by+1=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4⇒（-1，2）為直線ax-by+1=0（a＞0，b＞0）上的點(diǎn)，于是-a-2b+1=0⇒a+2b=1，代入$\frac{2}{a}+\frac{1}$，應(yīng)用基本不等式即可．

解答 解：由x²+y²+2x-4y+1=0得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴該圓的圓心為O（-1，2），半徑r=2；
又直線ax-by+1=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，
∴直線ax-by+1=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過圓心O（-1，2），
∴-a-2b+1=0，即a+2b=1，又a＞0，b＞0，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}$）•（a+2b）=4+$\frac{a}$+$\frac{4b}{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4b}{a}}$=8（當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$時(shí)取“=”）．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式，難點(diǎn)在于對(duì)“直線ax-by+1=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過圓心O（-1，2）”的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．