Question

觀察下列等式：
（x²+x+1）⁰=1；
（x²+x+1）¹=x²+x+1；
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；
由此可以推測：（x²+x+1）⁵的展開式中，系數(shù)最大的項是

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：有題意可知當n=n時，展開式有2n+1項，且展開式中間一項的系數(shù)最大，利用排列組合求出展開式的第6項的系數(shù)，問題得以解決．

解答： 解：觀察所給的等式
當n=0時，展開式有1項，當n=1時，展開式有3項，當n=2時，展開式有5項，當n=3時，展開式有7項，
由此得到規(guī)律為，當n=n時，展開式有2n+1項，且展開式中間一項的系數(shù)最大，
因此當n=5時，按x的降次排列，展開式有11項，且展開式第6項的系數(shù)最大，
展開式的第6項的系數(shù)為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51；
由此可以推測：（x²+x+1）⁵的展開式中，系數(shù)最大的項是：51x⁶，
故答案為：51x⁶，

點評：本題考查二項式定理的運用以及歸納推理，解題的關鍵在于發(fā)現(xiàn)所給等式的系數(shù)變化的規(guī)律．