Question

已知P為橢圓C：

x2

2

+y²=1上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，PF₁，PF₂的延長(zhǎng)線分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)△F₁F₂P的面積最大時(shí)，求線段|AB|的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，設(shè)直線OP，AB的斜率分別為k₁，k₂．求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最大時(shí)，△F₁F₂P的面積最大，此時(shí)P為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，即可得出直線F₁P、F₂P的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，即可|AB|；
（II）設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）當(dāng)x₀≠-1時(shí)，直線F₁P的方程為：y=

y0

x0+1

(x+1)，將其代入橢圓C的方程可得(2x0+3)x2+4

y

2 0

x-3

x

2 0

-4x0=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁，即可點(diǎn)到A(-

3x0+4

2x0+3

，-

y0

2x0+3

)．當(dāng)x₀≠1時(shí)，同理可得B(

3x0-4

2x0-3

，

y0

2x0-3

)，利用斜率計(jì)算公式可得k₂，k1=kOP=

y0

x0

，即可得出k₁•k₂=-

1

6

為定值；
（2）當(dāng)x₀=-1時(shí)，解出坐標(biāo)即可得出k₁•k₂=-

1

6

為定值；（3）當(dāng)x₀=1時(shí)，同理可得k1•k2=-

1

6

．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最大時(shí)，△F₁F₂P的面積最大，此時(shí)P為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，
由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)（0，1），
又F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
直線F₁P的方程為y=x+1，將直線F₁P：y=x+1代入橢圓C的方程可得

x2

2

+(x+1)2=1，解得x=-

4

3

，
則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

4

3

，
同理，可得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

4

3

，
此時(shí)A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則線段|AB|的長(zhǎng)為

8

3

．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）當(dāng)x₀≠-1時(shí)，直線F₁P的方程為：y=

y0

x0+1

(x+1)，將其代入橢圓C的方程可得

x2

2

+

y 2 0

(x0+1)2

(x+1)2=1，
整理可得(2x0+3)x2+4

y

2 0

x-3

x

2 0

-4x0=0，
則x0x1=

-3 x 2 0 -4x0

2x0+3

，得x1=-

3x0+4

2x0+3

，y1=

y0

x0+1

(-

3x0+4

2x0+3

+1)=-

y0

2x0+3

，
故A(-

3x0+4

2x0+3

，-

y0

2x0+3

)．
當(dāng)x₀≠1時(shí)，直線F₂P的方程為：y=

y0

x0-1

(x-1)，將其代入橢圓方程并整理可得(-2x0+3)x2-4

y

2 0

x-3

x

2 0

+4x0=0，
同理，可得B(

3x0-4

2x0-3

，

y0

2x0-3

)，
則k2=kAB=

y0 2x0-3 + y0 2x0+3

3x0-4 2x0-3 + 3x0+4 2x0+3

=

x0y0

3( x 2 0 -2)

．
又k1=kOP=

y0

x0

，
則k1•k2=

y0

x0

•

x0y0

3( x 2 0 -2)

=

y 2 0

3( x 2 0 -2)

=

1- 1 2 x 2 0

3( x 2 0 -2)

=-

1

6

為定值；
（2）當(dāng)x₀=-1時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，

2

2

)，
可求得此時(shí)A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1，-

2

2

)和(

7

5

，-

2

10

)，
∴k1=-

2

2

，k2=

2

6

，∴k1•k2=-

1

6

；
（3）當(dāng)x₀=1時(shí)，同理，可得k1•k2=-

1

6

．
綜上可知：k₁•k₂為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到交點(diǎn)坐標(biāo)、斜率計(jì)算公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．