Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數(shù)，且圖象在點（e，f（e））（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）當n＞m＞1（n，m∈Z）時，證明：（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由ax+xln|x+b|是奇函數(shù)，得到y(tǒng)=a+ln|x+b|為偶函數(shù)，從而求得b的值，代入原函數(shù)，由函數(shù)在x=e處的斜率等于3求得a的值；
（2）把f（x）的解析式代入且k＜

f(x)

x-1

，構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求導(dǎo)得其最小值，從而求得k的最大值；
（3）把證明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ轉(zhuǎn)化為證明

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，然后構(gòu)造輔助函數(shù)φ（x）=

xlnx

x-1

，由導(dǎo)函數(shù)證明該函數(shù)為增函數(shù)，從而證明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

解答： （1）解：由f（x）=ax+xln|x+b|=x（a+ln|x+b|）是奇函數(shù)，
則y=a+ln|x+b|為偶函數(shù)，∴b=0．
又x＞0時，f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，
∵f′（e）=3，
∴a=1；
（2）解：當x＞1時，令g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，
∴g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，令ln（x）=x-2-lnx，
∴h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h′（1）=-1＜0，h′（3）=1-ln3＜0，h′（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h′（x₀）=0，
則x∈（1，x₀），h′（x）＜0，g′（x）＜0，y=g（x）為減函數(shù)．
x∈（x₀，+∞），h′（x）＞0，g′（x）＞0，y=g（x）為增函數(shù)．
∴g(x)min=g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0．
∴k＜x₀，又x₀∈（3，4），k∈Z，
∴k_max=3；
（3）證明：要證（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ，
即證mlnm+nmlnn＞nlnn+nmlnm，
即證

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，
令φ（x）=

xlnx

x-1

，φ′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，
令g（x）=x-1-lnx，
g′(x)=1-

1

x

＞0（x＞1），
∴g（x）為增函數(shù)，
又g（1）=0，
∴g（x）=x-1-lnx＞0，即φ′（x）＞0．
∴φ（x）=

xlnx

x-1

在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵n＞m＞1，
∴

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，
則（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．