【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)= .
(Ⅰ)記F(x)=f(x)﹣g(x),判斷F(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由;
(Ⅱ)記(Ⅰ)中的F(x)在(1,2)內(nèi)的零點(diǎn)為x0 , m(x)=min{f(x),g(x)},若m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)有兩個(gè)不等實(shí)根x1 , x2(x1<x2),判斷x1+x2與2x0的大小,并給出對(duì)應(yīng)的證明.
【答案】解:由題意:F(x)=f(x)﹣g(x),那么:F(x)=xlnx﹣ .定義域?yàn)椋?,+∞)
F′(x)=1+lnx+ ,由題設(shè)x∈(1,2),故F′(x)>0,即F(x)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù).(1,2)是單調(diào)增區(qū)間.那么:F(1)=ln1﹣ = <0,F(xiàn)(2)=2ln2﹣ >0,并且F(x)在(1,2)上連續(xù)的,故根據(jù)零點(diǎn)定理,有F(x)在區(qū)間(1,2)有且僅有唯一實(shí)根,即一個(gè)零點(diǎn).
(Ⅱ)記(Ⅰ)中的F(x)在(1,2)內(nèi)的零點(diǎn)為x0 , 由f(x)=xlnx,當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)≤0,而g(x)= >0,故f(x)<g(x);
由(Ⅰ)可知F′(x)=1+lnx+ ,當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)′(x)>0,存在零點(diǎn)x0∈(1,2),不然有:F(x0)=f(x0)﹣g(x0)=0,故1<x<x0時(shí),f(x)<g(x);當(dāng)x>x0時(shí),f(x)>g(x);
而此得到m(x)= ,
顯然:當(dāng)1<x<x0時(shí),m′(x)=1+lnx恒大于0,m(x)是單增函數(shù).
當(dāng)x>x0時(shí),m′(x)= 恒小于0,m(x)是單減函數(shù).
m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)有兩個(gè)不等實(shí)根x1 , x2(x1<x2),則x1∈(1,x0),x2∈(x0 , +∞),
顯然:當(dāng)x2→+∞時(shí),x1+x2>2x0 .
要證明x1+x2>2x0 , 即可證明x2>2x0﹣x1>x0 , 而m(x)在x>x0時(shí)是單減函數(shù).故證m(x2)<m(2x0﹣x1).
又由m(x1)=m(x2),即可證:m(x1)<m(2x0﹣x1).即x1lnx1< ,(構(gòu)造思想)
令h(x)=xlnx﹣ ,由(1<x<x0).其中h(x0)=0,
那么:h′(x)=1+lnx+ ﹣ ,
記φ(t)= ,則φ′(t)= ,當(dāng)t∈(0,1)時(shí),φ′(t)>0;當(dāng)t>1時(shí),φ′(t)<0;故φ(t)max= ;
而φ(t)>0;故 >φ(t)>0,而2x0﹣x>0,從而有: <0;
因此:h′(x)=1+lnx+ ﹣ >0,即h(x)單增,從而1<x<x0時(shí),h(x)<h(x0)=0.
即x1lnx1< 成立.
故得:x1+x2>2x0 .
【解析】(Ⅰ)對(duì)F(x)求導(dǎo),利用x∈(1,2)判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性,在利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行證明.(Ⅱ)先由x的范圍討論f(x),g(x)的大小,確定之間的關(guān)系式m(x),在判斷x1+x2與2x0的大小,可以利用分析法對(duì)其進(jìn)行證明.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;二次函數(shù)的零點(diǎn):(1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);(2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);(3)△<0,方程 無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn)才能正確解答此題.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cos2 = ,△ABC的面積為4.
(1)求 的值;
(2)若2sinB=5sinC,求a的值.
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【題目】已知數(shù)列滿足,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求的值;
(2)若.
①求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
②求滿足的所有數(shù)對(duì).
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【題目】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為, 是雙曲線C上的點(diǎn), ,連接并延長(zhǎng)交雙曲線C與點(diǎn)P,連接,若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
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【題目】某市自來水公司每?jī)蓚(gè)月(記為一個(gè)收費(fèi)周期)對(duì)用戶收一次水費(fèi),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:當(dāng)每戶用水量不超過噸時(shí),按每噸元收;當(dāng)該用戶用水量超過噸時(shí),超出部分按每噸元收取.
(1)記某用戶在一個(gè)收費(fèi)周期的用水量為噸,所繳水費(fèi)為元,寫出關(guān)于的函數(shù)解析式.
(2)在某一個(gè)收費(fèi)周期內(nèi),若甲、乙兩用戶所繳水費(fèi)的和為元,且甲、乙兩用戶用水量之比為,試求出甲、乙兩用戶在該收費(fèi)周期內(nèi)各自的用水量和水費(fèi).
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【題目】在約束條件 下,當(dāng)t≥0時(shí),其所表示的平面區(qū)域的面積為S(t),S(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示,正確的應(yīng)該是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知定義在[﹣ , ]的函數(shù)f(x)=sinx(cosx+1)﹣ax,若y=f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.( ,2]
B.(﹣∞, )∪[2,+∞)
C.[﹣ , )
D.(﹣∞,﹣ ]∪( ,+∞)
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【題目】已知二次函數(shù),滿足,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某企業(yè)一天中不同時(shí)刻的用電量(萬千瓦時(shí))關(guān)于時(shí)間(小時(shí),)的函數(shù)近似滿足,如圖是函數(shù)的部分圖象(對(duì)應(yīng)凌晨點(diǎn)).
(Ⅰ)根據(jù)圖象,求的值;
(Ⅱ)由于當(dāng)?shù)囟眷F霾嚴(yán)重,從環(huán)保的角度,既要控制火力發(fā)電廠的排放量,電力供應(yīng)有限;又要控制企業(yè)的排放量,于是需要對(duì)各企業(yè)實(shí)行分時(shí)拉閘限電措施.已知該企業(yè)某日前半日能分配到的供電量 (萬千瓦時(shí))與時(shí)間(小時(shí))的關(guān)系可用線性函數(shù)模型模擬.當(dāng)供電量小于該企業(yè)的用電量時(shí),企業(yè)就必須停產(chǎn).初步預(yù)計(jì)停產(chǎn)時(shí)間在中午11點(diǎn)到12點(diǎn)間,為保證該企業(yè)既可提前準(zhǔn)備應(yīng)對(duì)停產(chǎn),又可盡量減少停產(chǎn)時(shí)間,請(qǐng)從這個(gè)初步預(yù)計(jì)的時(shí)間段開始,用二分法幫其估算出精確到15分鐘的停產(chǎn)時(shí)間段.
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