已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，并且經(jīng)過定點P（
3
，
1
2
）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B為橢圓E的左右頂點，P為直線l：x=4上的一動點（點P不在x軸上），連AP交橢圓于C點，連PB并延長交橢圓于D點，試問是否存在λ，使得S△ACD=λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出e=
c
a
=
3
2
且
3
a2
+
1
4b2
=1，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（4，y0），直線AP的方程為：y=
y0
6
(x+2)，代入橢圓，得(9+y02)x2+4y02x+4y02-36=0．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出存在λ=3，使得S△ACD=λS△BCD成立．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，并且經(jīng)過定點P（
3
，
1
2
），
∴e=
c
a
=
3
2
且
3
a2
+
1
4b2
=1，又c2=a2-b2
解得：a2=4，b2=1，
∴橢圓E的方程為
x2
4
+y2=1（1）
（Ⅱ）存在λ=3，使得S△ACD=λS△BCD成立
設(shè)P（4，y0）（y0≠0），又A（-2，0），則kAP=
y0
6

故直線AP的方程為：y=
y0
6
(x+2)，代入方程（1）并整理得：(9+y02)x2+4y02x+4y02-36=0．
由韋達(dá)定理：xA+xC=-2+xC=-
4y02
9+y02
，
即xC=
18-2y02
9+y02
，∴yC=
6y0
9+y02
，
同理可解得：xD=
2y02-2
1+y02
， yD=
-2y0
1+y02
，∴kCD=
yC-yD
xC-xD
=
2y0
3-y02
，
故直線CD的方程為y=kCD（x-xC）+yC，
即(3-y02)y+2y0(-x+1)=0，∴直線CD恒過定點（1，0）．
∴
S△ACD
SBCD
=
|CD|•|AE|•sin∠AEC
|CD|•|EB|•sin∠BEC
=
|AE|
|EB|
=
3
1
=3=λ．
故λ=3．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直角梯形ABCD的下底與等腰三角形ABE的斜邊重合，AB⊥BC且AB=2CD=2BC（如圖1），將此圖形沿AB折疊成直二面角，連結(jié)EC、ED，得到四棱錐E-ABCD（如圖2）
（1）線段EA上是否存在點F，使得EC∥平面FBD？若存在，求出
EF
FA
；若不存在，說明理由．
（2）在（1）的條件下，求平面ABE與平面FBD的夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知在△OAB中，點C是以A為中心的點B的對稱點，D是將
OB
分成2：1的一個內(nèi)分點，
DC
和
OA
交于點E，設(shè)
OA
=
a
，
OB
=
b
．
（1）用
a
，
b
表示
OC
，
DC
；
（2）若
OE
=λ
OA
，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)關(guān)于x的不等式|x+1|＞a，（a∈N*）的解集為A，且
3
4
∉A，
4
3
∈A．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=|x+a|-|x-1|的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中．
（1）共有多少種不同的放法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
（2）若每個盒子均有一球，共有多少種不同的放法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
（3）恰好有一個盒子為空，共有多少種不同的放法？（結(jié)果用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+bx+c的圖象為曲線E．
（1）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時取得極值，求此時a，b的值；
（2）在滿足（1）的條件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1=3，前n項和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1=1，且b2S2=4，b3S3=
15
4
．
（1）求an與bn；
（2）記數(shù)列（
1
Sn
）的前n項和為Tn，且
lim
n→∞
Tn=T，求使bn≥
T
3
成立的所有正整數(shù)n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin（ωx+φ）+2sin2
ωx+φ
2
-1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為
π
2
．
（1）當(dāng)x∈（-
π
2
，
π
4
）時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移
π
6
個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的
1
2
（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．當(dāng)x∈[-
π
12
，
π
6
]時，求函數(shù)g（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在2與32中間插入7個實數(shù)，使這9個實數(shù)成等比數(shù)列，該數(shù)列的第7項是
 
．

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同步練習(xí)冊答案