Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，并且經過定點P（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設A，B為橢圓E的左右頂點，P為直線l：x=4上的一動點（點P不在x軸上），連AP交橢圓于C點，連PB并延長交橢圓于D點，試問是否存在λ，使得S_△ACD=λS_△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出e=

c

a

=

3

2

且

3

a2

+

1

4b2

=1，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設P（4，y₀），直線AP的方程為：y=

y0

6

(x+2)，代入橢圓，得(9+y02)x2+4y02x+4y02-36=0．由此利用韋達定理結合已知條件能求出存在λ=3，使得S_△ACD=λS_△BCD成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，并且經過定點P（

3

，

1

2

），
∴e=

c

a

=

3

2

且

3

a2

+

1

4b2

=1，又c²=a²-b²
解得：a²=4，b²=1，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1（1）
（Ⅱ）存在λ=3，使得S_△ACD=λS_△BCD成立
設P（4，y₀）（y₀≠0），又A（-2，0），則kAP=

y0

6

故直線AP的方程為：y=

y0

6

(x+2)，代入方程（1）并整理得：(9+y02)x2+4y02x+4y02-36=0．
由韋達定理：xA+xC=-2+xC=-

4y02

9+y02

，
即xC=

18-2y02

9+y02

，∴yC=

6y0

9+y02

，
同理可解得：xD=

2y02-2

1+y02

， yD=

-2y0

1+y02

，∴kCD=

yC-yD

xC-xD

=

2y0

3-y02

，
故直線CD的方程為y=k_CD（x-x_C）+y_C，
即(3-y02)y+2y0(-x+1)=0，∴直線CD恒過定點（1，0）．
∴

S△ACD

SBCD

=

|CD|•|AE|•sin∠AEC

|CD|•|EB|•sin∠BEC

=

|AE|

|EB|

=

3

1

=3=λ．
故λ=3．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．