Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）焦距為2

2

，且過點（

2

，1），動直線l和橢圓C相交于A，B兩點，點N為線段AB的中點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)N的坐標(biāo)為（1，1）時，求此時△AOB的面積；
（Ⅲ）設(shè)點M也是橢圓C上的一點，且滿足

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，問：是否存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂使|NF₁|+|NF₂|為定值？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出2a=1+

( 2 + 2 )2+1

=4，c=

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點點差法求出直線AB的方程為y=-

1

2

x+

3

2

，聯(lián)立

y=- 1 2 x+ 3 2 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-6x+1=0，由此能求出△AOB的面積．
（Ⅲ）由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得M（

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2），代入橢圓方程得x₁x₂+2y₁y₂=0，設(shè)中點N（x，y），則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，由此推導(dǎo)出點N在以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點，以2

2

為長軸的橢圓上，所以存在兩個定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），使|NF1|+|NF2|=2

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）焦距為2

2

，且過點（

2

，1），
∴2a=1+

( 2 + 2 )2+1

=4，∴a=2，
又c=

2

，∴b²=4-2=2，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

4

+

y12

2

=1，①，

x22

4

+

y22

2

=1，②
∵動直線l和橢圓C相交于A，B兩點，點N為線段AB的中點．
當(dāng)N的坐標(biāo)為（1，1）時，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
①-②得

2(x1-x2)

4

+

2(y1-y2)

2

=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴直線AB的方程為y=-

1

2

x+

3

2

，
聯(lián)立

y=- 1 2 x+ 3 2 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-6x+1=0，
∴x1+x2=2，x1x2=

1

3

，∴|AB|=

(1+( 1 2 )2

•

22-4 1 3

=

30

3

，
∴S△AOB=

1

2

•

30

3

•

3

5

=

6

2

．
（Ⅲ）由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得M（

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2），
代入橢圓方程，得

1

4

(

3

5

x1+

4

5

x2)2+

1

2

(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1，
化簡，得x₁x₂+2y₁y₂=0，
設(shè)中點N（x，y），則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，
∴x²+2y²=（

x1+x2

2

）²+2（

y1+y2

2

）²
=(

x12

4

+

y12

2

)+(

x22

4

+

y22

2

)+

x1x2+2y1y2

2

=2，
∴

x2

2

+y2=1，
∴點N在以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點，以2

2

為長軸的橢圓上，
∴存在兩個定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
使|NF1|+|NF2|=2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用．