Question

已知關于x的實系數一元二次方程2x²-4（m-1）x+m²+1=0．
（1）若方程的兩根為x₁、x₂，且|x₁|+|x₂|=2，求m的值；
（2）若方程有虛根z，且z³∈R，求m的值．

Answer 1

考點：實系數多項式虛根成對定理,復數求模

專題：

分析：（1）當△≥0，求得m的范圍，由x1+x2=

m2+1

2

＞0，可知兩根同號，從而|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2，從而求得m的值．當△＜0時，求得m的范圍，此時方程有兩個共軛復根，由|x₁|+|x₂|=2可得|x₁|=1，進而1=|x1|2=x1x2=

m2+1

2

，解得m的值，綜合可得結論．
（2）由題意2z²-4（m-1）z+m²+1=0 （I），從而2z³-4（m-1）z²+（m²+1）z=0 （II）．由（I）、（II）聯立消去z²，根據z為虛數，且z³∈R，從而（m²+1）-8（m-1）²=0，可得7m²-16m+7=0，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）當△≥0，即m∈(-∞，2-

3

]∪[2+

3

，+∞)，由x1+x2=

m2+1

2

＞0，可知兩根同號，
從而|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2，求得 2（m-1）=±2，解得m=0或m=2（舍）．
當△＜0，可得 m∈(2-

3

，2+

3

)，此時方程有兩個共軛復根，故|x₁|=|x₂|，且由|x₁|+|x₂|=2可得|x₁|=1，
進而1=|x1|2=x1x2=

m2+1

2

，解得m=1或m=-1（舍）；
從而綜上所述：m=0，或m=1．
（2）由題意2z²-4（m-1）z+m²+1=0 （I），從而2z³-4（m-1）z²+（m²+1）z=0 （II）．
由（I）、（II）聯立消去z²，可得2z³+[（m²+1）-8（m-1）²]z+2（m²+1）（m-1）=0
由于z為虛數，且z³∈R，從而（m²+1）-8（m-1）²=0，可得7m²-16m+7=0，
解得m=

8± 15

7

．

點評：本題主要考查實系數的一元二次方程求根問題，韋達定理的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．