Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0），A為拋物線上一點(diǎn)（A不同于原點(diǎn)O），過焦點(diǎn)F作直線平行于OA，交拋物線C于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)．若過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交直線OA于B，則|FP|•|FQ|-|OA||OB|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出直線PQ的方程為：y=

2p a

(x-

p

2

)，代入拋物線y²=2px得：4x²-4（p+a）x+p²=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=p+a，x₁x₂=

p2

4

，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能夠求出|FP|•|FQ|-|OA||OB|的值．

解答： 解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0），A為拋物線上一點(diǎn)（A不同于原點(diǎn)O），
∴設(shè)A（a，

2pa

），a≠0，則k_OA=

2pa

a

=

2p a

，
∵過焦點(diǎn)F作直線平行于OA，交拋物線C于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，
∴直線PQ的方程為：y=

2p a

(x-

p

2

)，
代入拋物線y²=2px，并整理，得：4x²-4（p+a）x+p²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=p+a，x₁x₂=

p2

4

，
∵OA的直線方程為y=

2p x0

x，過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交直線OA于B，
∴y_B=

2p a

•

p

2

，
∴

OA

•

OB

=|OA||OB|=

p

2

a+

2pa

•

2p a

•

p

2

=

p

2

a+p2，
∵Q（x1，

2px1

），P（x2，

2px2

），F(xiàn)（

p

2

，0），
∴|FP|=

( p 2 -x2)2+2px2

=x2+

p

2

，
|FQ|=

( p 2 -x1)2+2px1

=

p

2

+x1，
|FP|•|FQ|=（x2+

p

2

）•（

p

2

+x1）
=

p

2

x2+

p2

4

+x1x2+

p

2

x1
=

p

2

(x1+x2)+

p2

2

=

p

2

a+p2，
∴|FP|•|FQ|-|OA||OB|=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用．