【題目】如圖，在矩形中，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由四邊形是矩形，得，推導(dǎo)出平面，可得出，再由，可得出平面，由此能證明；

（2）過作于點(diǎn)，則平面，以所在直線為軸，過作軸平行于，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由平面，得出直線與平面所成角為，設(shè)，可得，然后利用空間向量法能求出二面角的余弦值.

（1）由四邊形是矩形，得，

平面平面，平面平面，平面，平面，

平面，則，

又，，平面，

平面，；

（2）過作，垂足為點(diǎn)，

平面平面，平面平面，平面，平面，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，過作軸平行于，以所在直線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知平面，是直線與平面所成角，即，

在中，，

設(shè)，則，，

平面，可取平面的一個(gè)法向量，

由（1）知，，在中，，，，，

，，，

，，，

，，

設(shè)平面的法向量，

由，取，則，，

所以，平面的一個(gè)法向量為，

.

由圖形可知，二面角的平面角為銳角，它的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn)，試驗(yàn)后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙，丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨(dú)立.

（1）試驗(yàn)時(shí)從甲、乙，丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實(shí)施對(duì)能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為實(shí)現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會(huì)，某地進(jìn)行產(chǎn)業(yè)的升級(jí)改造.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研和科學(xué)研判，準(zhǔn)備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個(gè)核心部件，目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨(dú)立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的部件中隨機(jī)抽取400件，對(duì)其核心部件的尺寸x，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理的頻率分布直方圖.

根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，該核心部件尺寸x滿足：|x﹣12|≤1為一級(jí)品，1＜|x﹣12|≤2為二級(jí)品，|x﹣12|＞2為三級(jí)品.

（Ⅰ）現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品，再從所抽取的40件產(chǎn)品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的產(chǎn)品，記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14，15]的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）將甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時(shí)，需要進(jìn)行檢驗(yàn).已知每箱有100件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為50元.檢驗(yàn)規(guī)定：若檢驗(yàn)出三級(jí)品需更換為一級(jí)或二級(jí)品；若不檢驗(yàn)，讓三級(jí)品進(jìn)入買家，廠家需向買家每件支付200元補(bǔ)償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢了10件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1件三級(jí)品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費(fèi)用作為決策依據(jù)，問是否對(duì)該箱中剩余產(chǎn)品進(jìn)行一一檢驗(yàn)？請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）為加大升級(jí)力度，廠家需增購設(shè)備.已知這種產(chǎn)品的利潤(rùn)如下：一級(jí)品的利潤(rùn)為500元/件；二級(jí)品的利潤(rùn)為400元/件；三級(jí)品的利潤(rùn)為200元/件.乙種設(shè)備產(chǎn)品中一、二、三級(jí)品的概率分別是，，.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤(rùn)作為決策依據(jù).應(yīng)選購哪種設(shè)備？請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．

（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f（x）=ax∈M；

（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，直線l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在以原點(diǎn)O為圓心的圓滿足：此圓與直線l相交于P，Q兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且OP，OQ的斜率之積為定值，若存在，求出此定值和圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，大擺錘是一種大型的游樂設(shè)備，常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中，面向外.通常，大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn).座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).大擺錘的運(yùn)行可以使置身其上的游客驚心動(dòng)魄.今年元旦，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在點(diǎn)處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸在平面內(nèi)繞點(diǎn)左右擺動(dòng)，平面與水平地面垂直，擺動(dòng)的過程中，點(diǎn)在平面內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持，，已知，在“大擺錘”啟動(dòng)后，下列個(gè)結(jié)論中正確的是______（請(qǐng)?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號(hào)）.

①點(diǎn)在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)；

②線段在水平地面上的正投影的長(zhǎng)度為定值；

③直線與平面所成角的正弦值的最大值為；

④直線與平面所成角的正弦值的最大值為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知

（1）若a=1，且f(x)≥m在(0，+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．

（1）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；

（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．

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