Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ） (ω＞0，0＜φ＜

2π

3

)的最小正周期為π，
（1）求當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)φ的值；
（2）若f（x）的圖象過點(diǎn)（

π

6

，

3

2

），求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意知T=π，ω=2，當(dāng)f（x）=sin（2x+φ）為偶函數(shù)時(shí)，φ=kπ+

π

2

（k∈Z），又0＜φ＜

2π

3

，于是可求得φ的值；
（2）由f（

π

6

）=sin（

π

3

+φ）=

3

2

及0＜φ＜

2π

3

可求得φ=

π

3

，從而可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵T=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∴當(dāng)f（x）=sin（2x+φ）為偶函數(shù)時(shí)，
φ=kπ+

π

2

（k∈Z），又0＜φ＜

2π

3

，
∴φ=

π

2

；
（2）∵f（

π

6

）=sin（

π

3

+φ）=

3

2

，
又0＜φ＜

2π

3

，
∴

π

3

＜φ+

π

3

＜π，
∴φ+

π

3

=

2π

3

，
解得φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，（1）與（2）中求φ的值是難點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．