Question

已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+2

}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λ對?n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，由此能求出a_n=n+1．
（Ⅱ）由

1

anan+2

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，利用裂項(xiàng)求和法求出T_n=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

．由此能求出λ的最小值為

5

12

．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
∵{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1，或d=0．（舍）
∴a₁=2，故a_n=n+1．
（Ⅱ）∵a_n=n+1，∴

1

anan+2

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，
∴T_n=（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

）
=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

．
∵T_n≤λ對?n∈N^*恒成立，∴λ≥

5

12

，即λ的最小值為

5

12

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．