Question

12．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，則S₁₀=$\frac{2728}{3}$．

Answer 1

分析 2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，∴當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，可得a_2k-1=0．當(dāng)n=2k時(shí)，$3{a}_{2k}={2}^{n+1}$，即a_2k=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，
∴當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，2a_2k-1-a_2k-1=0，即a_2k-1=0．
當(dāng)n=2k時(shí)，$3{a}_{2k}={2}^{n+1}$，即a_2k=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．
∴S₁₀=a₂+a₄+…+a₁₀
=$\frac{{2}^{3}+{2}^{5}+…+{2}^{11}}{3}$=$\frac{\frac{8×（{4}^{5}-1）}{4-1}}{3}$=$\frac{2728}{3}$．
故答案為：$\frac{2728}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．