Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

x=1+4cosθ y=2+4sinθ

（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（3，5），傾斜角為

π

3

．
（1）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,圓的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）消去參數(shù)θ，把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；由直線l過(guò)定點(diǎn)P，傾斜角為

π

3

，寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得t²+（2+3

3

）t-3=0，由根與系數(shù)的關(guān)系以及t的幾何意義求出|PA|•|PB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為

x=1+4cosθ y=2+4sinθ

（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)θ，得曲線C的普通方程：（x-1）²+（y-2）²=16；
∵直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（3，5），傾斜角為

π

3

，
∴直線l的參數(shù)方程為：

x=3+ 1 2 t y=5+ 3 2 t

，t為參數(shù)．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程，
得t²+（2+3

3

）t-3=0，
設(shè)t₁、t₂是方程的兩個(gè)根，
則t₁t₂=-3，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化以及應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)明確參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，并能靈活應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．