Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+alnx（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出相應的切線方程．
（II）若在區(qū)間（0，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0即可．利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間[1，e]上的最小值，先求出導函數(shù)f'（x），然后討論研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x

+alnx（a≠0，a∈R）．
∴x＞0，且f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

若a=1，則f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

=

x-1

x2

，
f′（1）=0，f（1）=1+ln1=1，
故函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程是y=1；
（Ⅱ）∵f（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，（a≠0，a∈R）．
令f′（x）=0，得到x=

1

a

，
若在區(qū)間[1，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要條件是f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）當x=

1

a

＜0，即a＜0時，f′（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
故f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（e）=

1

e

+alne=

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜-

1

e

．
（2）當x=

1

a

＞0，即a＞0時，
①若e≤

1

a

，則f′（x）≤0對x∈[1，e]成立，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（e）=

1

e

+alne=

1

e

+a＞0，
顯然，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0不成立．
②若1＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

時，則有

x	（1， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，e）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（

1

a

）=a+aln

1

a

，
由f（

1

a

）=a+aln

1

a

=a（1-lna）＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
綜上，由（1）（2）可知：a∈（-∞，-

1

e

）∪（e，+∞）．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查學生的計算能力，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．